Le rêve d'Euclide - promenades en géométrie hyperbolique

Tout commence, 300 ans avant notre ère, avec Euclide, personnage aussi mystérieux que fondamental.
Dans ses fameux Éléments qui, jusqu'à une époque récente, constitueront le socle des mathématiques modernes, Euclide y énonce un certain nombre d'axiomes - « Tous les angles droits sont égaux. », « Par deux points distincts, il passe une droite et une seule » -, dont un plus « costaud » que les autres : « Par un point du plan pris hors d'une droite, il passe dans ce plan exactement une parallèle à cette droite. » Or, cet axiome sonne plutôt comme un théorème, et un théorème, pour tout mathématicien qui se respecte. ça se démontre !
Et les ennuis commencent pour des générations entières de mathématiciens, qui, les uns après les autres, vont s'épuiser dans d'impossibles démonstrations.
Il faudra attendre le XVIIe siècle pour que certains esprits plus libres, plus inventifs, adoptent un point de vue libérateur où, par un point du plan pris hors d'une droite, il passe. deux parallèles à cette droite ! Du jamais vu ! Bienvenue en géométrie hyperbolique, un monde qui a inspiré autant les mathématiciens que les artistes, et qui a initié le développement de l'informatique. Rien que cela !